《九章算术》是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比《周髀算经》更为完善和先进，但人们推定《九章算术》的年代却比《周髀算经》更早。这真是有点奇怪。《周礼?保氏》中就说王子们必须学习“九数”，东汉末年的经学家郑玄作注，其内容与《九章算术》的篇名几乎完全相同。郑玄虽然是经学家，但他的算学水平绝对是一流的，当时就是因为他曾帮助老师经学大师马融解决了一道数学难题，马融才将所有的学问传给了他。至于《九章算术》是否就是“九数”，尚须进一步讨论。

《九章算术》其实就是研究九个问题的习题集。每道题有问有答有术（解决方法），有的是一题一术，有的是多题一术，有的则是一题多术，全书九章，涉及的都是现实生活中的实际应用问题。第一章，讲“方田”，38个问题21种解决方法，主要论述了各种平面图形的地亩面计算法及分数的运算法则。其中平面图形有方田（长方形田地）、圭田（等腰三角形田地）、邪田（直角梯形田地）、箕田（等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（球冠行田地）、弧田（弓形田地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算法，除宛田、弧田采用近似计算法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的。其中分数运算法则包括约分术（约分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（分数比较大小）、平分术（求分数的平均值）、经分术（分数除法）、乘分术（分数乘法）及大广田术（带分数乘法）。

第二章，讲“粟米”，46问33术，主要论述了二十种谷物、米或饭的兑换比率及四项比例算法。其四项比例算法当时称为“今有术”。前31问都是用四项比例算法计算的谷物兑换问题，后15问则是以钱买物的问题，再后15问中共列四术，即经率术、经术术、其率术和反其率术，这四术都是四项比例算法的特殊情况。这很有点像经济学的雏形。

第三章衰分，20问22术，主要论述比例分配，包括质量不一的货物的税收问题，还有算术级数和几何级数方面的其他问题。所有这些都是用比例法解决的。

第四章少广，24问16术，论述的是开平方、开立方的问题。

第五章商功，28问24术，讨论立体图形，如棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、圆台、四面体、楔形的体积测量和计算，所考虑的有墙、城墙、堤防、水道和河流。

第六章均输，28问28术，主要讨论如何按照人口多少、路途远近、谷物贵贱平均缴纳、运输赋税或摊派徭役的问题。

第七章盈不足，20问17术，主要论述盈亏问题的解法。

第八章方程，18问19术，研究联立线性方程，还用到正数和负数。研究中国古代科学技术史的专家英国李约瑟认为，这是在人类文明中最早出现负量的概念。（不过这跟我们现代数学中的负数在理念上还是有差别的，这时的负数是借助于经济上的亏欠形成的，正负数的运算也可能是由于需要产生的，而不是现代数理论上的负数。）本章最后涉及的四个方程和五个未知数的问题，是不定方程的前身。

第九章勾股，24问22术，这里用代数方法深入细致地论述了《周髀算经》中已经提到过的直角三角形的性质。

九章合计共246问202术。涉及到社会生产生活的方方面面。

也正像一般学者所研究的那样，这些数学知识虽然有的方面非常发达，但其所面对的问题都是现实生活中的实际问题，因此很多都是在解决具体的问题中达到非常精微的地步，但却没有一套知识系列，将数学的各种知识系统化。这是中国古代数学的一大特征。另外一个特征就是，比较擅长运用代数来解决问题，即使是几何问题，通常也是转化为代数问题，前面所提到的关于直角三角形的讨论，也只不过是一个媒介，最终还是会引到代数上来。

虽然我们不能说《周髀算经》和《九章算术》准确地反映了先秦时代的数学水平，但基于此，我们似乎可以逆想，西周时代的数学知识的状况如何。而西周的那些“国子”们，所面对的数学知识面也就不难想象了。

其实，那个时期经常用到数学运算的可能还不是丈量土地，修建工程之类的事情，而是占卜中需要用数学来计算重卦和蓍草的数目，尤其是后者，是一套比较繁琐的程序中，需要相当的数学能力。凡祭祀、出行、婚丧、访友、行军打仗等等都会事先占卜，以求吉凶，可见这类事情要比测量土地、征收赋税之类的事情频繁多了。

据前文所述，那个时期的数学似乎很复杂，但实际上似乎又没有这么复杂，因为他跟“书”一样，是小学的科目。作为小学的科目，估计不会涉及所谓的方程、比例等较复杂的知识。而且，很复杂的分数运算一般都是用来解决天文历法上的问题，若非有特别的兴趣，或者职责专主于此，则尽可以让专门制定历法的史官来做。（作者：李俊? 单位：中国人民大学国学院）